How Design Formula One

Mecánica Celeste Gravity Force Sistema Solar


Gravity Force      Mecánica Celeste        Sistema Solar       by JASF at 2016

video      Supernova explosion = sistema Solar en       https://youtu.be/Js5xEqToWKo

Descarga de programas    Sistema Solar.exe   Supernova.exe         QB64       en:

https://drive.google.com/folderview?id=0B0Cv0Mr7hO22eFYyQVhtcDRySzg&usp=sharing

Explosion Supernova Formacion Sistema Solar 1

Explosion Supernova Formacion Sistema Solar 1

Cuando aplicamos las ecuaciones de Newton a una     masa     m      del Sistema Solar

  Ʃ Fext   =   Ʃ Fg   =   m Ʃ G M/r =   Ʃ d(m v)/dt   =   m Ʃ d v/dt   =    m Ʃ a   =   Ʃ  Fi     ( N )

los resultados que obtenemos son órbitas elípticas si se dan unas condiciones particulares.

Con el programa      Mass Dynamic Analysis by JASF   escrito en lenguaje BASIC

( Qb64 Versión 0.954 )   para Windows 64 bits

aplicando dichas ecuaciones de Newton,      simulamos las trayectorias (vectores de posición), velocidades y aceleraciones 

de un número     Nm de masas     (los planetas y el Sol).

Dicho programa       Mass Dynamic Analysis by JASF     ha derivado en dos versiones:

  • Sistema Solar.exe para simular planetas en movimiento debido a las fuerzas gravitatorias
  • Supernova.exe para simular la creación de Sistemas Solares

La diferencia importante entre ellos es que en     Sistema Solar.exe    se introducen las datos actuales de los planetas (masa, velocidad y distancia al Sol), mientras que en     Supernova.exe    dichos datos son calculados,  aleatoriamente con ciertas restricciones,  en el momento de la explosión de la estrella.

Supernova.exe    muestra    que se pueden formar mundos aplicando las ecuaciones de Newton.

Con los programas vemos a los planetas orbitar sin problemas,    excepto la degeneración de las órbitas debidas a incrementos de tiempo, ∆t altos.              

SI   ∆t ⇾0    ≃  cálculo diferencial

Sistema Solar 5

Sistema Solar 5

Al simular la Luna,   “podemos apreciar”  que al cabo de un rato    la Luna se desliga de la Tierra    y va a su bola como otro planeta sin orbitar a La Tierra (problema del caos de las 3 masas de Poincaré).

Las    aceleraciones centrípetas (originadas por las fuerzas gravitatorias)    de la Luna

debidas a las Masas de La Tierra y del Sol son:        a  =  Fg/m  =  G M/r2

acptl =  G Mt/Dt_l2 = 0.002703       m/s2       Aceleración Centrípeta (rotación de la Luna alrededor de la Tierra)
acpsl = G Ms/Ds_t2 = 0.005963      m/s2       Aceleración Centrípeta (rotación de la Luna alrededor del Sol)

 

La del Sol es el doble (son del mismo orden) y esto supone un equilibrio delicado,

 ya que su suma vectorial nos lleva a:

  • Cuando La Tierra está entre el Sol y la Luna la aceleración de la Luna es la suma escalar
acpsl = 0.005963  +  acptl = 0.002703  =  0.008666 m/s2  dirigida hacia La Tierra y el Sol
  • Cuando la Luna está entre el Sol y La Tierra su aceleración es la resta escalar
acpsl = 0.005963  –  acptl = 0.002703  =  0.003260 m/s2 dirigida hacia el Sol y contraria a La Tierra

El vector aceleración de la Luna apunta    siempre al Sol, es decir, la Luna orbita alrededor del Sol, también lo hace alrededor de La Tierra en la simulación y luego solo orbita al Sol pero no a La Tierra    (problema del caos de las 3 masas descrito por Poincaré (o más masas), que, básicamente consiste en que

pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.

Por tanto, para la simulación de la dinámica de sistemas en rotación, existe una dependencia jerárquica, teniendo que subdividir el problema en subsistemas Planetas-Satélites (Tierra-Luna), cuyos centros de masas orbiten alrededor del Sol.

Sistema Solar 1

Sistema Solar 1

EXPLOSION DE UNA SUPERNOVA system solar

Mass Dynamic Analysis:    Sistema Solar.exe    Supernova.exe

Basándonos en La Ley de la Gravedad de Newton

m1 G m2/r2    y        m1 a1   =  m1  dv1/dt

las ecuaciones vectoriales para 2 masas       m1         y        m2 son:

F  =  m1  a1   =   m1  G m2 /r2   =    mG m1 /r2   =  m2  a2       =>     a1 = G m2 /r2       a2 = G m1 /r2

 

Si tenemos un número de    Nm    masas     (planetas)     :

Partimos de un sistema inercial:      un sistema cuyo origen sea el centro de masas de las Nm masas:
 rcmx = ( ∑iNm   rix mi ) / ∑iNm  mi               rcmy = ( ∑iNm   riy mi ) / ∑iNm  mi               rcmz = ( ∑iNm   riz mi ) / ∑iNm  mi

 

La aceleración de cada     masa     i       será la suma de las aceleraciones debidas a las demás    masas    j    

Para una    masa       i            ( i ≠ j )     tendremos las ecuaciones escalares:
 aix = ∑i,jNm   aijx = ∑i,jNm   (G m2 /r3) rijx                               ajx = ∑i,jNm   ajix = ∑i,jNm   (G m1 /r3) rjix
aiy = ∑i,jNm   aijy = ∑i,jNm   (G m2 /r3) rijy                                       ajy = ∑i,jNm   ajiy = ∑i,jNm   (G m1 /r3) rjiy
aiz = ∑i,jNm   aijz = ∑i,jNm   (G m2 /r3) rijz                                       ajz = ∑i,jNm   ajiz = ∑i,jNm   (G m1 /r3) rjiz

 

Para cada    masa    i    de las    Nm,    tendremos que la     velocidad en el instante     i,     vi     será
la del instante anterior     i-1,      vi-1     más la     aceleración del instante    i      ai      
por el tiempo transcurrido entre ambos instantes     ∆i-1i t        ídem para el vector de posición     ri

 vix = vi-1x + aixi-1i t                         rix = ri-1x + vixi-1i t + ½ aix (∆i-1i t)2

viy = vi-1y + aiyi-1i t                           riy = ri-1y + vixi-1i t + ½ aiy (∆i-1i t)2

viz = vi-1z + aizi-1i t                           riz = ri-1z + vixi-1i t + ½ aiz (∆i-1i t)2

 

Los  vectores   aceleración, velocidad y posición hay que calcularlos para todas las masas      Nm    haciendo bucles                       

FOR   i=1   TO   Nm      vix =                      viy =              etc.      NEXT i

Si los incrementos de tiempo  ∆i-1i t  son pequeños nos aproximamos al cálculo diferencial y los resultados son bastante precisos, pero el ordenador ( 8 cores y 8 Gb de RAm) tarda mucho en hacer los cálculos y apenas vemos moverse a los planetas.

Es toda la física y matemáticas que necesitamos para hacer orbitar planetas o simular la formación de un Sistema Planetario a partir de la Explosión de una Supernova.

Este Newton era la hostia. Como nos basamos en la gravedad     NO     saldrán    órbitas circulares, sino elípticas, con suerte,    o    parabólicas y sobre todo     hiperbólicas.

 

La probabilidad de que los planetas orbiten es ínfima (normalmente se estampan contra la Estrella o se van a conocer el resto del universo….).

 

Ecuacion Orbitas

Ecuacion Orbitas

Mario Cosenza

 

Siendo            e       la excentricidad        de la órbita cónica:

  1. Orbita circular                      e  =  0
  2. Orbita elíptica                       e  <  1
  3. Orbita parabólica                  e  =  1
  4. Orbita hiperbólica                 e  >  1

Como es lógico la mayoría de las órbitas serán hiperbólicas    ( 1 < e < ∞ )

Por eso, al hacer la simulación intentamos que las órbitas salgan circulares o elípticas, ya que de lo contrario, la mayoría de los planetas cogerán una órbita hiperbólica ( 1 < e < ∞ ) y desaparecerán. Esto es así para minimizar el gasto computacional.

Para que los planetas orbiten necesitamos rotación, que puede ser debida a una explosión no isótropa.

No obstante, la mayoría de las trayectorias son hipérbolas y parábolas (curvas abiertas), unas pocas elípticas e ínfimas circunferencias (curvas cerradas):

Hipótesis: al explotar la estrella, la posición y aceleración de los planetas es proporcional al área A de su sección e inversamente proporcional a su masa m

a = F / m     F = A P    =>    m = d V    =>    a = A P / (d V) = k2 R^2 / (d R^3) = k2 / (d R)    =>     r = K / (d R)     K = dm Rm r
siendo      P, la Presión       dm = 2850 kg/m3, densidad media planetas       Rm = 35 E6 m, Radio medio planetas    =>   K = = dm Rm r = 1.152 E11 r
siendo      r = r_RadioSol = 696.0E+06, el radio del Sol     radioExplo = Ram * 1.152E11 * r_RadioSol / (Densidad * Rm(i))        Ram, número aleatorio
Vel = INT((2 * radioExplo) ^ 0.5)

 

Para inicializar la Explosión de una Supernova nos basamos en la Física        hipótesis anterior

y la distribución de las posiciones iniciales las ramdomizamos  eligiendo un rango de velocidades apropiado para intentar obtener órbitas circulares o elípticas:

RANDOMIZE TIMER ‘                                                           Initiatitating Aleatoriusly
FOR i = 2 TO Nm
    Pii = 12.5663706143592
    sig = (RND * 1) – 0.5
    Ram = (RND * 1 + (RND * (RND * 90 + 10))) ‘                                                            Número Aleatorio
    Densidad = (RND * 5 + 0.7) * 1E3 ‘                                                                                    Initiatitating density tipical system solar
    Rm(i) = INT(ABS(RND * 68 + 2) * 1E6) ‘                                                                      Initiatitating planeta radius tipical system solar
    m(i) = INT(Densidad * 4 * Rm(i) ^ 3) ‘                                                                            Initiatitating mass tipical system solar
    radioExplo = Ram * 1.152E11 * r_RadioSol / (Densidad * Rm(i)) ‘              Initiatitating Explosion radius tipical system solar
    Vel = INT((2 * radioExplo) ^ 0.5) ‘                                                                                   Initiatitating velocity  (condici¢n para obtener orbitas circulares o el¡pticas)
    Rx(i) = INT(radioExplo * COS(Ram * Pii)) ‘                                                                 Initiatitating position vector
    Ry(i) = INT(radioExplo * SIN(Ram * Pii))
    Rz(i) = INT(radioExplo * COS(Ram * Pii) * SIN(Ram * Pii) * sig)
    Vx(i) = INT(Vel * SIN(Ram * Pii)) ‘                                                                                    Initiatitating velocities vector
    Vy(i) = -INT(Vel * COS(Ram * Pii))
    Vz(i) = INT(Vel * COS(Ram * Pii) * SIN(Ram * Pii) * sig)
NEXT i

 

Nótese que al emplear las ecuaciones    vectoriales    de Newton para cada partícula    i

ai = ∑ G mij / r2ij             vi = vi-1 + ai ∆t              ri = ri-1 + vi ∆t + ½ ai ∆t2                    vectoriales

debemos emplear ∆t pequeños para que las órbitas no degeneren ya que:

si empleáramos las ecuaciones del movimiento circular o elíptico
φ                               ⍵ = dφ/dt                          α = d⍵/dt = d2φ/dt2
x = φ r                     ẋ = vt = ⍵ r                          ẍ = at = α r
ẋ = vx = dx/dt =               ẍ = ax = dvx /dt = d2x/dt2
el radio de la órbita se mantendría estable (es una imposición matemática de estas fórmulas),

En nuestro caso        ∆t       nos aumentará el radio de la órbita de una forma proporcional

(es como si se escapara por la tangente aumentando el radio) y perdiendo precisión en los cálculos
Degeneracion Orbitas

Degeneracion Orbitas

Tampoco es posible emplear ∆t muy pequeños y muchas masas a calcular, ya que el ordenador tarda más en realizar los cálculos que la naturaleza en hacer explotar una Supernova:      se hace eterna la simulación.

De ahí, que aparte de ajustar los parámetros, para obtener un buen ratio velocidad/precisión debamos ceñirnos al problema:     orbitar masas (planetas)     a partir de la explosión de una Supernova e intentamos no graficar aquellas masas que van a tener una trayectoria hiperbólica y van a desaparecer en la inmensidad del espacio (que son la mayoría).

  • Para cada partícula ai = ∑ G mij / r2ij             ecuación vectorial que

implica tres ecuaciones escalares,  y en lenguaje de programación, para Nm masas,  se traduce en:

FOR i = 1 TO Nm
FOR j = 1 TO Nm
IF j = i THEN 500
Ax(i) = Ax(i) + (G * m(j) / Rrr(j, i) ^ 2) * cosxx(j, i) ‘                          Calculation accelerations vector
Ay(i) = Ay(i) + (G * m(j) / Rrr(j, i) ^ 2) * cosyy(j, i) ‘                          Fg = G m1 m2 / r^2 = m1 a1 = m2 a2
Az(i) = Az(i) + (G * m(j) / Rrr(j, i) ^ 2) * coszz(j, i) ‘                          =>   a1 = G m2 / r^2
Aa(i) = ABS((Ax(i) ^ 2 + Ay(i) ^ 2 + Az(i) ^ 2) ^ 0.5)
500 NEXT j
NEXT i

 

Haciendo correr el programa Sistema Solar.exe,  solamente con el Sol, La Tierra y la Luna y sin gráficos para ganar velocidad de ejecución se presentan algunos resultados del problema de las 3 masas de Poincaré  según distintos valores del ∆t, con el fin de optimizar los cálculos y que no se degenere demasiado la órbita (la distancia Tierra-Luna):

Ratio Distancia Tierra-Luna  = 1 es el valor real de partida

∆t   (s)                                   t   (días)                                 Ratio Distancia Tierra-Luna
1                                 11                                           0,96
10                              11                                          0,96               resultados decentes
100                            1160                                     1,09               resultados decentes
360                             1160                                      1,24
360                             1160                                      1,24
360                             2000                                      1,36
7200                          4000                                      1,80
cogiendo un  ∆t = 60
∆t   (s)                                   t   (días)                                 Ratio Distancia Tierra-Luna
60                               1160                                      1,01
60                               5000                                      1,14
60                               6000                                      1,15
60                               7000                                      1,18
60                               8000                                      1,25
60                               9000                                      1,28
60                               10000                                    1,31
 cogiendo un                  ∆t = 30
∆t   (s)                                   t   (días)                                 Ratio Distancia Tierra-Luna
30                              1000                                     0,98   –  1,02
30                              2000                                     0,99   –  1,04
30                              3000                                     1,01   –  1,06

 Es decir, las órbitas se degeneran a no ser que trabajemos con unos ∆t tan pequeños que tardaremos una vida en saber que es lo ocurrirá.

Nota:                t   (días)   es el tiempo simulado (en la pantalla del ordenador)       

No es el tiempo real (cada simulación puede tardar unos minutos).

Inspectores de coincidencias de masa, densidad y distancia al Sol:

Inspector Tierra:

0 Tierra 2

La Tierra

 

Inspector Júpiter:

Júpiter

Júpiter

Son dos planetas muy representativos.

 

Poincaré. Problema de los 3 cuerpos (Problem of the three bodies).

Calcular, analíticamente, las trayectorias de 2 cuerpos sometidos a fuerzas centrales (gravitación y/o cargas eléctricas) tiene su complejidad.

Si son 3 cuerpos el tema se complica. Si son más cuerpos y de masas/cargas distintas más se complica.

La colisión elástica de 2 cuerpos es en el plano es bastante compleja.

Si además es inelástica se complica aún más y en el espacio 3D peor.

Las soluciones son infinitas ya que los datos de partida (Boundary Conditions) lo son, léase posiciones y velocidades iniciales.

La simulación de N cuerpos con colisiones inelásticas raya la ciencia ficción, puesto que desconocemos los coeficientes de restitución de las colisiones (la energía cinética no se conserva ya que que en el choque se genera calor. Si se conserva la energía total).

Para no penalizar el costo computacional elegimos un sencillo algoritmo que ralentiza las velocidades en el choque en función del ratio de penetración y el ratio de masas colisionantes. La solución no será real (ninguna solución matemática iguala a la realidad, por mucho que se empeñen en decirlo), pero es lo que podemos hacer para tener una idea de por donde van los tiros  (a eso se dedican matemáticos, físicos e ingenieros).

Se inicia la simulación con posiciones y velocidades parecidas.

Las manecillas de  los “relojes voladores”, indican la velocidad y aceleración vectorial.

Simulaciones del problema con 3 y 6 masas. Videos en :

 

Poincaré Chaos Problem 3 Mass 3D

Poincaré Chaos Problem 3 Mass 3D

Poincaré Problem 3 Body 3D Chaos

Poincaré Problem 3 Body 3D Chaos

poincare-chaos-problem-3-body-3d

Poincaré Chaos Problem 3 Body 3D

Poincaré Problem of N Body 3D

Poincaré Problem of N Body 3D

poincare-chaos-problem-6-mass-3d

Poincaré Chaos Problem 6 Mass 3D

 

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