How Design Formula One

Flujo Isentrópico, Toberas Laval, Cohete


Isentropic Flow,    Laval Nozzles,     Rocket       by JASF at 2016

Donwload free software  the Laval nozzle rocket (Tobera Laval Cohete): 

https://drive.google.com/file/d/0B0Cv0Mr7hO22b0hZNVZUdllLVk0/view?usp=sharing

CFD Laval Nozzle Cohete Velocity Water Vapor Post 4

CFD Laval Nozzle Cohete Velocity Water Vapor Post 4

Una tobera es un dispositivo que transforma energía entálpica ∆12 h en energía cinética ∆12e(sirve para aumentar la velocidad de salida de un gas).

Lo idealizamos como un Sistema Abierto (intercambia masa y energía).

El Volumen de Control lo suponemos Estacionario (12h = cte) y con Régimen Permanente ( ṁ = cte)

12h    = wH2O =12ec                                                                                  12Ḣ = ṁ 12h = ṁ 12ec

cp12 T = wH2O = ½ ∆12 v2               v2 = (v12 + 2 wH2O                      cp12 T = ½ 12 v2

Como la Presión y la Temperatura están relacionadas por la ecuación de estado P = ρ R T, al pasar el gas del estado inicial 1 al final 2, disminuirán la Temperatura y la Presión y aumentará la velocidad (eso es lo que se pretende).

La entalpía H, es una función de estado extensiva, que se define como la transformada de Legendre de la energía interna con respecto del volumen.

Las variables que no dependen de la masa son intensivas  (P, T, h, u, etc).

H = U –Ʋ (∂U/∂Ʋ)s  =    H = U – Ʋ (-P)    => H = U + P Ʋ                 J                      Gas Ideal H = m cp T

 h = H/m         u = U/m         ʋ = Ʋ/m = 1/ρ           h = u + P ʋ             J/kg                Gas Ideal h =  cp T = f (T)

= d(m h)/dt           = m dh/dt + h dm/dt                                           W                    Gas Ideal u =  cv T = f (T)

Si m = cte         = m dh/dt = m ḣ               (en un Sistema Cerrado m = cte     p.e.una olla, etc)

= dh/dt       ů = du/dt       ύ = d ʋ/dt                  ḣ = ů + P ύ                W/kg             ( Si Ʋ = cte    =>ḣ = ů )

Si dh/dt = 0   ∆12Ḣ = ∆12h dm/dt = ∆12h            (Volumen de Control Estacionario ∆12h = cte p.e. una tobera)

Básicamente, en una Tobera Laval, la Temperatura y la Presión disminuyen y aumenta la velocidad del gas.

En el caso de un monoplaza de F1, F2, F3, GP2, etc se utiliza una tobera laval en la aspiración (toma de admisión)

para mejorar el llenado de los cilindros y mejorar la potencia (aunque no el rendimiento) del motor.

Admision Dallara

Admision Dallara

 

un F1 del 2014 V6 de 1600 cc hasta 15.000 rpm (por consumo no pasan de 12.000 rpm) se tiene:

Tobera Laval de Aspiración F1 2014 Ram Effect A

Tobera Laval de Aspiración F1 2014 Ram Effect A

Tobera Laval de Aspiración F1 2014 Ram Effect  B

Tobera Laval de Aspiración F1 2014 Ram Effect B

Obteniendo un máximo del 11% de Ram Effect o toma dinámica a 12.000 rpm (teóricamente).

La variación de presión dinámica, Ram Effect,   es          ∆Pd = ½ (ρs vs2 – ρe ve2)

Para un F1 del 2012 V8 de 2400 cc hasta 18.000 rpm (no había límite de consumo) se tiene:

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect A

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect A

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect B

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect B

Obteniendo un máximo del 18% de Ram Effect o toma dinámica a 18.000 rpm (teóricamente).

Tobera Laval de Aspiración F1 2014

Tobera Laval de Aspiración F1 2014

Al hacer modificaciones, los mayores rendimientos se obtienen con Longitudes de salida, Ls    muy pequeñas y Semiángulo de salida, βs = 1º  muy pequeños.

No hay que obcecarse, puesto que las hipótesis de cálculo del flujo isoentrópico son ideales (gas ideal, sin rozamiento), por lo que la experimentación probablemente nos conducirá a que los mejores resultados se obtengan con longitudes y semiángulos de salida mayores que los idealmente calculados.

Nótese que en el diseño de las toberas de contornos parabólicos se referencian a toberas cónicas con semiángulos de aperturade 15 º (por algo será).

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect Desing

Tobera Laval de Aspiración F1 2012 Ram Effect Desing

Tobera Laval

Tobera Laval

Tobera Laval Seccion

Tobera Laval Seccion

Las mayores aplicaciones de las toberas se encuentran en el campo de la aeronáutica, ya que los aviones, misiles y cohetes obtienen su empuje gracias a la velocidad de salida de los gases de combustión y la diferencia de presiones.

La aceleración y Fuerza de propulsión (≃ Empuje) son:

ap = dv/dt =  vs /m            Fp = m ap =  vs /m = vs ≃ E

E = Fp + As (Ps-Pa) = vs ṁ + As (Ps-Pa)

Tobera Pressure, velocity and Temperature

Tobera Pressure, velocity and Temperature

Para un avión, transbordador lunar, las toberas de los cohetes se han de diseñar teniendo en cuenta que la Temperatura, Presión y Densidad del ambiente exterior disminuyen con la altitud   p’ =  P = Po ( 1 – K h / To ) g / RK

La contrapresión p’ (Presión exterior del Ambiente Pa, Back Pressure Pb son denominaciones habituales) será distinta en distintos escenarios (altitud, heladas, etc) y la tobera no funcionará siempre en condiciones óptimas.

El ideal es que la Presión de Salida del gas Ps, sea igual que la presión exterior, para aprovechar toda la entalpía disponible:

Si         Ps>   p’            se desperdicia entalpía

Si         Ps<   p’            onda de choque (se ralentiza el flujo)

Para mantener este ideal de la igualdad entre la presión desalida de los gases de escape y la presión ambiente, el diámetro de la boquilla tendría que aumentar con la altitud.

Tobera Fuera de Diseño

Tobera Fuera de Diseño

Cuando la Presión  de salida Ps es menor que la presión exterior (Back Pressure) se produce una onda de choque (Shock Wave), poceso que es adiabático pero irreversible y el flujo pasa a subsónico, pasando en la gráfica del punto 1 al punto 2, donde interseccionan las curvas de Fanno y Rayleigh, puntos donde (h,s)Fanno = (h,s) Rayleigh

El flujo pasa de supersónico   Ma1   a subsónico   Ma2    que se relacionan por la ecuación  (17-39)

Onda de choque

Onda de choque

 

La presión de diseño en función de la contrapresión exterior se elegirá atendiendo a diversos criterios (fiabilidad, seguridad,etc), siendo muy importante aquellas condiciones en las que funcionará habitualmente.

Básicamente, el funcionamiento de una tobera laval, en condiciones de diseño, consiste en que si el proceso es isoentrópico    y    adiábatico  un fluido subsónico se acelera en la zona convergente hasta alcanzar Mach = 1 en el cuello o garganta y se hace supersónico en la parte divergente de la tobera.

Flujo con calentamientoFlujo isentrópico o de Rayleigh

Si se considera que el flujo no es adiabático (es decir, intercambia calor con el exterior) pero se puede despreciar el cambio de área y el efecto de la fricción, se da el modelo de flujo de Rayleigh. Dicho tipo de flujos se utiliza para modelar casos como la circulación de aire en cámaras de combustión de motores de aviación.

El modelo muestra como la adición de calor a un flujo lleva a este hasta la condición crítica de Mach = 1. Es en dicho punto donde tiene la máxima entropía. Así, añadir calor acelera un flujo subsónico y decelera uno supersónico.

Refrigerar el flujo produce el efecto contrario.

Rayleigh en el plano H-ΔS

Rayleigh en el plano H-ΔS

Diagrama H-ΔS. La línea roja marca los posibles estados del flujo al cambiar el número de Mach.

Evolución de distintas propiedades en el flujo según el número de Mach

Evolución de distintas propiedades en el flujo según el número de Mach

Flujo con fricción:  Flujo adiabático o de Fanno

Para una corriente con un número de Mach superior a 1 en un conducto lo bastante largo, la fricción decelera el

flujo hasta causar el bloqueo sónico.

Para otra corriente con M < 1, la fricción acelera el flujo hasta llegar a la misma situación para un conducto lo bastante largo.

Se puede demostrar que para dicha situación de bloqueo, la entropía alcanza un máximo.

 Línea característica del flujo de Fanno en el plano H-ΔS.

Línea característica del flujo de Fanno en el plano H-ΔS.

Intersección de las curvas para flujos de Fanno y Rayleigh para un caso concreto M =3

Intersección de las curvas para flujos de Fanno y Rayleigh para un caso concreto M =3

Para mantener el ideal de la igualdad entre la presión de salida de los gases de escape y la presión ambiente, el diámetro de la boquilla y su longitud, tendrían que aumentar con la altitud.

En el vacío la contrapresión p’ es nula y  surgen varias cuestiones.

  • Al aumentar la longitud y el diámetro (crece el peso de la tobera), se aumenta el rendimiento de la tobera y el empuje crece hasta un punto en que disminuye debido al enorme peso de la tobera.
  • En segundo lugar, como los gases de escape se expanden adiabáticamente dentro de la boquilla, se enfrían, y, finalmente, algunos de los productos químicos se pueden congelar.

La producción de ‘nieve’ en el chorro provoca inestabilidades en el chorro y se debe evitar.

  • En una tobera Laval, el desprendimiento de flujo de gas de escape se produce en una boquilla groseramente expandida, formando vórtices y torbellinos.

Como el punto de separación no será uniforme alrededor del eje del motor, se puede producir una fuerza lateral en el motor que puede cambiar con el tiempo y dar lugar a problemas de control del vehículo.

También hay que tener en cuenta en el diseño de los tanques de combustible a presión, que en el vacío, al ser la presión exterior nula, se incrementa el espesor de las paredes del depósito.

Idealmente las transformaciones del fluido en una tobera cumplirían las siguientes condiciones:

Son adiabáticas (no hay una transmisión de calor del fluido a la tobera o al exterior).

Son isoentrópicas (se trataría de un proceso reversible, sin pérdidas).

El caudal de fluido que se desplaza a lo largo de la tobera permanecerá constante a lo largo de la misma.

Estas toberas deben tener una expansión adecuada para evitar la generación de ondas de choque dentro de las mismas.

La tobera es la encargada de convertir energía de presión en energía cinética adaptando las presiones y velocidades de los gases eyectados.

Los flujos que recorren dicha tobera se consideran compresibles y se mueven a velocidades muy elevadas alcanzando valores supersónicos en la parte divergente.

Las diferentes secciones transversales producen durante el avance de los gases variaciones en la densidad, presión y velocidad del fluido.

Todo ello está supuesto para condiciones de flujo isoentrópico, es decir, condiciones adiabáticas y sin rozamiento.

En la práctica, no existe la condición de flujo isoentrópico ideal, por lo que se aplica un coeficiente de rendimiento que ajusta el cálculo.

Nozzles

Nozzles

Flujo Isentropico Nozzles

Flujo Isentropico Nozzles

Eficiencia de las toberas

Debido a la fricción que ocurre entre el fluido y las paredes de la tobera y entre las propias capas del fluido, se producen algunas pérdidas que hacen que el proceso de expansión sea irreversible pero adiabático y por lo tanto, habrá una diferencia entre el proceso de expansión en condiciones ideales y el proceso en condiciones reales.

A nivel del mar, el régimen de una tobera suele ser de sobreexpansión, pues la presión de salida es menor que la presión ambiente en estas condiciones, y aparece una brusca variación dela presión y demás propiedades fluidas, conocida como onda de choque.

Sin embargo, conforme se aumenta la altura en la atmósfera terrestre, la presión decrece, por lo que a una altura determinada (punto de diseño) la presión de salida coincide con la presión exterior, y se dice que la tobera está adaptada. En estas condiciones, el rendimiento de la tobera es óptimo.

La propulsión cohete (rocketpropulsion) produce el empuje por la eyección de los gases de la combustión.

Una tobera cónica estándar tiene un semiángulo del divergente de 15º con un buen ratio peso/rendimiento.

Las toberas contorneadas, de campana paraboloide, suelen tener mejor rendimiento, menor longitud (peso), si bien son más caras de fabricar.

DISEÑO DE TOBERAS

  • Tobera cónica
  • Método de Sauer (región de la garganta)

(Sauer, R., “General Characteristics of the Flow Through Nozzles at Near Critical Speeds”, NACA TM-1147, jun. 1947)

  • Método de las características (MOC)

Anderson, J. D., “Modern Comprenssible Flow: With Historical Prespective”, 2nd ed., Mcgraw-HillPublishing Co., 1990

Pirumov, U. G. y Roslyakov, G. S., “Gas Flow in Nozzles”, Springer-Verlag, 1986

  • Simulación numérica
  • Toberas de contorno ideal (TIC,CTIC)

TIC, Truncated Ideal Contoured nozzle

CTIC, Compressed TIC

  • Máximo empuje (TOC). Tobera de Rao

TOC, Thrust Optimized Contoured nozzle

TOP, Thrust Optimized Parabolic

Trazado de la tobera de Rao (TOC,TOP)

Rao, G. V. R., “Exhaust Nozzle Contour forOptimum Thrust”, Jet Propulsion, june 1958.

Rao, G. V. R., “Approximation of OptimumThrust Nozzle Contour”, ARS Journal, june1960

Rao, G. V. R., “Recent Developments in RocketNozzle Configurations”, ARS Journal, nov.1961

Rao, G. V. R. y Dang, A. L., “ThrustOptimization of Nozzle Contour including FiniteRate Chemical Kinetics”, AIAA Paper 92-3729,28th Join Propulsion Conference and Exhibit,

Nashville TN, 1992

Rao, G. V. R., et al. “Nozzle Optimization forspace-Based Vehicles”, AIAA Paper 99-31323,35th Joint Propulsion Conference and Exhibit,CA 1999

  • Toberas auto-adaptables (espiga)
Trazado de la tobera cónica

Trazado de la tobera cónica

Trazado de la tobera de RAO

Trazado de la tobera de RAO

TOP, Thrust Optimized Parabolic Tobera de RAO

TOP, Thrust Optimized Parabolic Tobera de RAO

Cálculos aproximados del Transbordador Lunar

Los gases productos de la combustión están a temperaturas muy altas (de 2800 a 4400 ºK), posteriormente son expandidos en una tobera y acelerados a altas velocidades (de 2900 a 4500 m/s).

Como la temperatura de los gases es mucho mayor que el punto de fusión del acero, es necesario refrigerar la cámara de combustión con el H2 y el O2 que se almacenan licuados a bajas  temperaturas, siendo la Temperatura media del depósito Td:

 Td (H2) ≃ 20 ºK              Td (O2) ≃ 90 ºK              Td (H2O) ≃ 82 ºK    (Td media = Σ Ti Mi / Σ Mi)         

La Temperatura en la cámara de combustión será:

Temperatura en la entrada del H2O vapor        Te = Td + wH2O/cpm =  82 + 13 E6 / 2678= 4,851 ºK

Como cp aumenta con la Temperatura, usamos el valor medio cpm en el intervalo    T = (0 – 5000 ) ºK, que es       cpm ≅  2,678  J/kg ºK.      (Tablas JANAF)

Para refrigerar se emplea una película de   H2   O2   helados para que el metal no alcance el punto de fusión.

La Presión en la cámara de combustión depende de varios factores, entre ellos el volumen de la cámara, el cuello de la tobera y el gasto másico de combustible ṁ ( y por supuesto la presión de inyección).

La Presión de entrada Pe debe ser suficiente para tener alta velocidad de los gases en la salida.

Se utilizan valores del orden de          Ps = 70 bares = 7 E6 Pa.

También hay que tener en cuenta que al aumentar la Presión hay que aumentar el espesor y por tanto el peso, llegando a un punto en que el empuje disminuye.

Con estos datos de entrada podemos hacer simulaciones de los distintos supuestos y obtener resultados.

Para una tobera cónica (la más sencilla), algunos de los parámetros de entrada son:

  • Gasto másico de combustible     ṁ      y Temperatura de entrada   Te   que son función del combustible
  • Presión de entrada   Pe    que depende de la bomba de inyección
  • Condiciones ambientales      Pa, Ta, ρa     que son función de la altitud
  • Semiángulo de salida     β     y       ratio      Ɛ = As/A* = (Rs/R*)2      que son parámetros de diseño.

La Presión  de entrada Pe debe ser suficientemente alta para que la de salida Ps sea mayor que la del ambiente Pa y evitar la onda de choque en la zona divergente:

         Ps = f (Pe) ⪆ Pa    (Pa es Pb Back Pressure)

En este caso ya hemos elegido el combustible, tenemos la masa de la nave y del combustible, hemos calculado una órbita que haga posible llegar a la Luna, etc.

El objetivo es     que la nave alcance la mayor velocidad posible una vez agotado el combustible, que dura pocos minutos, es decir     obtener la máxima aceleración:

 La aceleración instantánea será       ai = Fi / mi = Ei / mi = vs ṁi + As (Psi – Pai)

Si toda la energía del combustible    wH2O = 13 E6 J/kg   la transformáramos en energía cinética tendríamos:

vs = (v12 + 2 wH2O)½ = (2 wH2O)½ = (2 *13 E6)½ = 5100 m/s   (velocidad de salida del gas )

Pero con la simulación del flujo isentrópico en la tobera son:       vs ≃ (3400 – 3900)   m/s

Es decir, no toda la energía suministrada se ha transformado en energía cinética.

En la salida, parte sigue almacenada como entalpía hs = f (Ts), ya que los gases salen a alta Temperatura         Ts ≃ (1500 -2000)  ºK

Tobera Transbordador A

Tobera Transbordador A

Eficiencia
Fp= 6.0 E+6 N Fuerza de propulsión   Fp = vs ṁ 100% ηcarnot  η ϵ
As(Ps-Pa) = -28 E+3 N Presión de propulsión 0% 1-(Ts/Te) ec/wH2O  η/ηcarnot
E = 6.0 E+6 N Empuje      E = vs ṁ + As (Ps – Pa) 100% 67% 52% 78%

 

El máximo rendimiento que se podría obtener es el de Carnot   ηcarnot  = 1 – (Ts/Te) = 1  –  67%

Se obtiene un rendimiento de  η = energía aprovechada / energía suministrada = e/ wH2O = ½ vs2 / wH2O = 52%

La eficiencia con relación al ciclo de Carnot es   ϵ = η /ηcarnot  = 78%

Tobera Transbordador B

Esta tobera es enorme:

Longitud zona divergente ≃ 5,879 m     y    Longitud total ≃ 8,818 m    

Con un diámetro de 3,854 m

Al variar su diseño y hacerla más pequeña perderá parte de sus prestaciones.

Tobera Transbordador C

Tobera Transbordador C

Los análisis de dinámica de fluidos con software Computacional Fluid Dynamic, CFD proporcionan:

En el despegue, con Presión Exterior      Pa = Pb = 100 E3 Pa         (1 bar ≃ 1 atm)

La Presión de Salida es      Ps =19 E3 Pa    <    Pa = Pb     la distribución de velocidades es:

Laval Nozzle Cohete Total Velocity Water Vapor

Laval Nozzle Cohete Total Velocity Water Vapor

La onda de presión (onda de choque, Sock Wave) se evidencia en los cambios bruscos de color:

*          de azul a rojo en la garganta

*          de rojo a azul a la salida de la tobera

Laval Nozzle Rocket Velocity Water Vapor Post

Laval Nozzle Rocket Velocity Water Vapor Post

 

Laval Nozzle Cohete Velocity Water Vapor a la Salida de la Tobera

Laval Nozzle Cohete Velocity Water Vapor a la Salida de la Tobera

Y la velocidad a la salida (3929 m/s)  ≃  coincide con los cálculos del flujo isentrópico del EXCEL (3951 m/s).

When Back Pressure is   1 E4 Pa (0.1 bar ≃ 0.1 atm), la expansión es completa a la salida de la tobera:

Laval Nozzle Cohete Velocity Presión Exterior 10000 Pa

Laval Nozzle Cohete Velocity Presión Exterior 10000 Pa

Laval Nozzle Rocket Velocity Presión Exterior 10000 Pa

Laval Nozzle Rocket Velocity Presión Exterior 10000 Pa

En función de la altitud h (m) tenemos:

  h, Altitud (m)      
   0   10,000 16,000 40,000
Ta = 300 ºK 250 220 100
Pa = 100 E+3 Pa 29 E+3 12 E+3 55 E+0
ρa= 1.161 kg/m3 0.401 0.190 2 E-3
vsa = 347 m/s 317 297 200
Fp = 6.5 E+6 N 6.5 E+6 6.5 E+6 6.5 E+6
As(Ps-Pa) = -962 E+3  N -132 E+3 64 E+3 203 E+3
E = 5.6 E+6 N 6.4 E+6 6.6 E+6 6.7 E+6

 

Variando el empuje entre         E = 5.6 E6 N   a   una altitud de       h = 0 m

Hasta                                     E = 6.7 E6 N   a   una altitud de       h = 40,000 m    donde    Pa ≃ 0

Existe Onda de Choque (Sock Wave) en la zona divergente de la tobera hasta una altitud de unos 13 km (con este diseño y parámetros de entrada)

Para que no haya onda de choque a h = 0 m, tendríamos que incrementar la Presión de Inyección (entrada) de

Pe = 10 E+6 Pa  (100 bar)    hasta    50 E+6 Pa   (500 bar)  pero entonces el espesor de la cámara sería:

Depósito de pared delgada    (Para un cilindro de     radio r   altura h    espesor e      a  Presión   ∆P  = 50 E+6 Pa)

µ = 2       Coeficiente de seguridad del material      σ = TYS,   Tensile Yield Strength   para acero   TYS = 2.5 E+8 Pa

e = µ ∆P r / σ    (a mayor radio y presión  =>  mayor espesor)    e = 2*50 E6*0.5 / 2.5 E8 = 0.2 m = 200 mm

y el peso de la tobera será enorme.

Ratios  Rendimientos

 

 Eficiencia
Fp= 6.8 E+6 N Fuerza de propulsión   Fp = vs ṁ 100% ηcarnot  η ϵ
As(Ps-Pa) = -32 E+3 N Presión de propulsión 0% 1-(Ts/Te) ec/wH2O  η/ηcarnot
E = 6.7 E+6 N Empuje      E = vs ṁ + As (Ps – Pa) 100% 67% 65% 97%

Tobera Transbordador D

La NASA utiliza distintos tipos de combustibles y en etapas, soltando lastre. Aun así, el tema está complicado.

Para que una tobera convergente-divergente funcione convenientemente hay que tener en cuenta que:

  • La Presión debe disminuir a lo largo de la tobera y al salir de ésta ser mayor que la presión del ambiente para que no haya onda de choque:

             Pe > P* > Pa  =>      Pe >> Pa         (Pe  ⪆  2 Pa)

  • Al resolver por iteración la ecuación As/A* = f (Ms)

As/A* = 1 / Ms [ ( 1 + (γ-1)/2 Ms^2 ) (2/(γ+1) ]^((γ+1)/2(γ-1))

ésta proporciona dos resultados para el Nº de Mach en la Salida:      Ms1 < 1          Ms2 >1

  • La garganta, cuello o zona de estrangulamiento alcanza M* = 1 si         ṁ < ṁmáx   

Siendo                       ṁmáx = A* Pe (γ/(Rgas Te))^0.5 (2/(γ+1))^((γ+1)/(2 (γ+1)))

Si ṁ es mayor aparece una onda de choque que bloquea el flujo y no se alcanzarán condiciones sónicas en la garganta (M* < 1) y además la zona divergente actuará como difusor disminuyendo el Nº de Mach.

  • Si el semiángulo β es grande favorecerá el desprendimiento de la capa límite con la creación de vórtices e irreversibilidades (el flujo será menos isoentrópico, menos realista).

En un caso concreto a modo de ejemplo tenemos:

  • Ratio of the area to the critical area as a function of the Mach number for k = 1.4

    Ratio of the area to the critical area as a function of the Mach number for k = 1.4

    Mach number as a function of position

    Mach number as a function of position

    Pressure and temperature as a function of position

     

    Mass flow rate as a function of exit pressure and inlet pressure

    Mass flow rate as a function of exit pressure and inlet pressure

    Nozzle Pressure Ratio Ambient ∕ Chamber (Pb ∕ Pc)

    Nozzle Pressure Ratio Ambient ∕ Chamber (Pb ∕ Pc)

     

    Flow Property Variations

    Rankine Hugoniot Relations

    Rankine Hugoniot Relations

    Rankine Hugoniot Relations Velocity Ratio

    Rankine Hugoniot Relations Velocity Ratio

    Density, Temperature and Pressure Ratios

    Density, Temperature and Pressure Ratios

    Mach 2 and Entropy Gain

    Stagnation Pressure and Density Ratio

    Stagnation Pressure and Density Ratio

    Rankine Hugoniot Relation Summary

    Rankine Hugoniot Relation Summary

    Tras tantear varias posibilidades, teniendo en cuenta el empuje, peso y demás parámetros de entrada, una solución podría ser la siguiente:

    Nozzle Rocket Datos

    Nozzle Rocket Datos

    Nozzle Rocket Solution

    Tobera Transbordador B

    Nozzle Rocket Solution A

    Nozzle Rocket Solution B

    Nozzle Rocket Solution Obteniendo aceleraciones entre    39      y       32       m/s2     en los 4 casos analizados en distintos instantes.

    Obteniendo aceleraciones entre    39      y       32       m/s2     en los 4 casos analizados en distintos instantes.

    A medida que se gasta el combustible, disminuye la masa total de la nave y disminuimos el gasto másico .

    La nave coge altura y varían las condiciones ambientales (Temperatura, Presión, Densidad).

    El análisis CFD proporciona resultados parecidos a los obtenidos con EXCEL (la realidad será otra historia):

    Velocidades de salida del orden de 3300 m/s (Mach = 3)

    Con los datos    x, y    del EXCEL se construye el modelo CAD en 3D y los CFD correspondientes son:

CFD Nozzle Rocket Mach Number Plane

CFD Nozzle Rocket Mach Number Plane

CFD Nozzle Rocket Mach Number Volumen

CFD Nozzle Rocket Mach Number Volumen

CFD Nozzle Rocket Mach Number Volumen 3D

CFD Nozzle Rocket Mach Number Volumen 3D

CFD Nozzle Rocket Velocity Volumen

CFD Nozzle Rocket Velocity Volumen

CFD Nozzle Rocket Temperature and Pressure Volumen

CFD Nozzle Rocket Temperature and Pressure Volumen

Introduction to Compressible Flow

The density of a gas changes significantly along a streamline

Definition of Compressibility: the fractional change in volume of the fluid element per unit change in pressure

Mach Number: Compressibility becomes important for High Speed

Flows where M > 0.3

  • M < 0.3 – Subsonic & incompressible
  • 0.3 <M < 0.8 – Subsonic & compressible
  • 0.8 <M < 1.2 – transonic flow – shock waves appear mixed subsonic and sonic flow regime
  • 1.2 <M < 3.0 – Supersonic – shock waves are present but NO subsonic flow
  • M > 3.0 – Hypersonic Flow, shock waves and other flow changes, are very strong speed of sound

Significant changes in velocity and pressure result in density variations throughout a flow field

Large Temperature variations result in density variations.

Equations: continuity mass, linear momentum, energy and an equation of state.

Important Effects of Compressibility on Flow

* Choked Flow :  a flow rate in a duct is limited by the sonic condition

* Sound Wave/Pressure Waves : rise and fall of pressure during the passage of an acoustic/sound wave.

The magnitude of the pressure change is very small.

* Shock Waves : nearly discontinuous property changes in supersonic flow.

* A pressure ratio of 2:1 will cause sonic flow

Internal Energy – individual particle kinetic energy: molecular vibrational + rotational energy

                                                                                                      u = u ( ρ, T ) =  (∂u/∂ρ)T  + (∂u/∂T)ρ 

Entalpy Energy                                                                        h = h ( ρ, T ) =  (∂h/∂ρ)T  + (∂h/∂T)ρ 

The 2nd Law of Thermodynamics & Isentropic           ds = (δq/dT)rev

Restrict analysis to:

* Ideal Gas            P = ρ R T            u = cv T            h = cp T           γ = cp / cv           R = cp – cv          

* Isentropic process (adiabatic and reversible)

s2 – s1 = cp Ln T2/T1 – R Ln P2/ P1           P2/P1 = (T2/T1)(γ/γ-1) = (ρ2/ ρ1)γ           vs = (γ RT)½

* Steady State Momentum Equation            vs2 = ΔP/Δρ(1+ Δρ/ρ)           ≋          vs2 = ∂P/∂ρ     if Δρ→0

P/ργ = const           P = const ργ          dP = const  γ ργ-1 dρ           vs2 = ∂P/∂ρ = P/ργ γ ργ-1 = γ P/ ρ

* Steady State Continuity Equation           

ρAv = (ρ+dρ)(A+dA)(v+dv)           dA/A + dρ/ρ + dv/v = 0           dA/A = – dρ/ρ – dv/v

* Bernouille    dP/ρ + dv2/2 + gz = 0 = dP/ρ  + v dv           dA/A = – dρ/ρ + dP/(ρ v2) = dP/ρ (1/v2 – dρ/dP)

dA/A = dP/(ρ v2)(1-M2)             dA/A = – v dv/ v2 (1-M2)             dA/A = dv/ v (M2-1)

* Steady State Energy Equation            δq – dw =  dec + dh           ≋          q – w = ½ (v2 –v1) + cp (T2 – T1)

* Stagnation Temperature           T01 = ½ v12 /cp + T1

* Stagnation Conditions           

T0/T = (γ–1)/2 M2 +1                                    T0/T* = (γ+1)/2                            vs0/ vs* = [(γ+1)/2]½

P0/P = [(γ–1)/2 M2 +1] (γ/γ-1)                      P0/P* = [(γ+1)/2] (γ/γ-1)           

ρ0/ρ = [(γ–1)/2 M2 +1] (1/γ-1)                       ρ0/ρ* = [(γ+1)/2] (1/γ-1)

Choked Flow : The maximum possible mass flow through a duct occurs when it’s throat is at the sonic condition

ṁ = Po A*[γ/RTo]½ [(γ+1)/2][ γ+1/ (2(γ-1))]

The critical area Ratio is :      A/A* = 1/M [2 + (γ–1) M2/ (γ+1)][ γ+1/ (2(γ-1))]

 

Unity             ṁ = dm/dt               kg/s               ʋ = Ʋ /m        ρ = m / Ʋ = 1/ ʋ

E          Ep        Ec        U          H         Q          W        J

e          ep        ec        u          h          q          w         J/kg

Ė          Ėp        Ėc         Ů          Ḣ         Ǭ         Ẇ        W  = J/s

ė          ėp        ėc        ů          ḣ          ǭ          ẇ         W/kg 

Cuando creamos que tengamos el diseño acabado  (esto es mentira, no se acaba nunca), para economizar recursos informáticos y obtener mayor precisión:

  • Construiremos el Volumen de  Control más largo (agrandaremos el escape de gases)
  • Refinaremos el mallado
  • Añadiremos dos planos de simetría  XY   XZ

De este modo conseguimos residuos de las ecuaciones de gobierno (imprecisión de cálculo) del orden de 1 E -6 (1 millonésimo de error).

Haciendo los cálculos con doble precisión los residuos bajan a 1 E -12 (1 billonésimo de error), pero los resultados son los mismos:

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Mach Number Volumen 3D Simetry

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Mach Number Volumen 3D Simetry

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Pressure Simetry

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Pressure Simetry

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Shear Strain Rate

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Shear Strain Rate

CFD  Shock Wave Nozzle Rocket Shear Strain Rate Gradient

CFD Shock Wave Nozzle Rocket Shear Strain Rate Gradient

CFD  Shock Wave Nozzle Rocket Temperature Gradient

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CFD Shock Wave Nozzle Rocket Density Gradient

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CFD Shock Wave Nozzle Rocket Velocity Real Eigenvalue Gradient

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shock_diamonds

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shock-wave-diamonds

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