How Design Formula One

Orbita Transbordador Lunar Trayectoria Cohete Misil


Cohetes, Gravity and Drag Forces      by JASF at 2016

Descarga de programas en:

https://drive.google.com/folderview?id=0B0Cv0Mr7hO22eFYyQVhtcDRySzg&usp=sharing

 

El propósito de la mecánica clásica es describir el movimiento de los cuerpos y entender sus causas.

La mecánica vectorial se basa en la newtoniana ( F = m a ) con ecuaciones vectoriales, mientras que la mecánica analítica se fundamenta en el cálculo diferencial con ecuaciones escalares (Energía cinética).

Si bien, la mecánica analítica (lagrangiana, hamiltoniana) es más elegante, también proporciona menos información, ya que un escalar (Energía cinética) no proporciona la dirección  de la velocidad.

Los modelos matemáticos se utilizan para estudiar y simular fenómenos de la realidad.

Los basados en la mecánica clásica suelen resolver, con suficiente precisión, la mayoría de las situaciones que se presentan en la vida a nivel macroscópico.

A nivel microscópico hay que recurrir a la teoría de la relatividad para explicar el electromagnetismo y a la mecánica cuántica para resolver el estudio de átomos y/o moléculas.

 

*          La Fuerza de la Gravedad,                      Gravity Force          Fg =  G M m/r   Fg =  G M m r/r explica, en general, el movimiento de los cuerpos.

En la superficie de La Tierra (h = 0   =>    r = Rt) podemos considerar su intensidad

g = G M/r2                g =  G M  r/r  constante,               g  ≃ 9.8 m/s2             si bien, dado que La Tierra :

  • No es esférica, sino que es ≃  un geoide o elipsoide (elipse de revolución), el radio de La Tierra

Rt        varía con la latitud, lat         Rt = f (lat)      Rpolo = 6356000 m    Recuador =6378000 m

y por tanto               Rt = [(Recuador cos lat)2 + (Rpolo sen lat)2]½             g = f (r) = f (lat)

  • Si la altitud, h sobre el nivel del mar (o la altura, ≃ h sobre la superficie) es representativa

r = Rt + h = f (h)       g = f (r) = f (h)          por tanto,       g = f (r, h, lat)

  • No es un sistema inercial. Debido a la rotación sobre sí misma aparece

la Fuerza Centrífuga que varía con la latitud   Fcen = m ω x ω x r cos (latitud) = f (latitud)

  • No es un sistema inercial. Si la masa m a estudiar tiene velocidad no paralela al eje de giro aparece

la Fuerza de Coriolis Fcor = 2 m ω x v = f (lat, v)

La Fuerza de Coriolis solo es apreciable en los fluidos (ciclones y anticiclones), llegando el viento a alcanzar velocidades de hasta 500 km/hora a 10 km de altitud.

El Sol y La Luna también influyen en la masa m, pero si es un sólido apenas se notan sus efectos (en los fluídos y con tiempo de actuación suficiente si se perciben (las mareas).

También existen otras Fcen y Fcor debidas a la rotación de La Tierra alrededor del Sol, pero son menos significativas.

 

 *          La Resistencia Aerodinámica, Drag Force, es muy importante ya que limita la velocidad máxima del objeto de masa m, en ausencia de propulsión (cohetes, aviones, etc.).

Re = ρ vr L/μ = vr L/ν                 (ν= μ/ρ)                              Re,      Nº de Reynolds

 

ρ,         Densidad del fluido                                                 ρaire =           1,177              kg/m^3

vr,        velocidad relativa objeto/fluido                            vr =                 5                     m/s

L,         longitud característica del objeto                          L = ∅ =           0,1                  m

μ,         viscosidad dinámica del fluido                               μ =                 18 10-6            kg/ms

ν,         viscosidad cinemática del fluido                            ν =                  16 10-6           kg/ms

entonces                    Re = ρ vr L/μ = vr L/ν = 3,2  104

  • A bajas velocidades vr (bajo Número de Reynolds, Re < 2100) el flujo se puede considerar laminar
  • Entre 2100    <    Re   <    104         de transición
  • Y para     Re > 104     el flujo es turbulento

Como vemos en el ejemplo, la mayoría de los objetos en el aire (una piedra, cohetes, aviones, etc.) con una dimensión   L = ∅ = 0,1 m    o mayor  y con una velocidad   vr = 5 m/s = 5 * 3,6 = 18 Km/hora   o mayor, tendrán un    Re > 3,2  104   es decir  flujo turbulento.

La Drag Force,          Fd      en régimen turbulento es del tipo:

Fd = 1/2 CD ρaire As vr                Fd = f (ρaire, vr)

con      ρaire = f (P, T)          P = f (T)        T = f(h)          ρaire = f (h)

siendo                                    CD       el coeficiente aerodinámico

As        el área de la sección transversal

vr        la velocidad relativa entre objeto y aire

Para un objeto concreto (una piedra, cohetes, aviones, etc.) puede rondar

CD = 0,3         As = π∅ 2 = 3,14 * 0,22=0,125 m2      

Fd = 1/2 CD ρaire As vr 2  = 0,5*0,3*1,177*0,125 * vr 2  = KD vr 2  = 0,02 * vr 2

vr = 5 m/s = 18 km/hora  =>                     Fd = KD vr 2  = 0,02 * 52       =      0,5 N

vr = 50 m/s = 180 km/hora  =>               Fd = KD vr 2  = 0,02 * 502          =      50 N

vr = 500 m/s = 1800 km/hora  =>            Fd = KD vr 2  = 0,02 * 5002    =         5000 N

Es decir, puede pasar de ser despreciable (insignificante) a tener valores que no se deben ignorar.

*          La Fuerza del Viento, también es muy importante, ya que la Drag Force es proporcional al cuadrado de la

velocidad relativa vr    entre el objeto y el aire    vr = v – vviento

Es muy difícil, sino imposible, saber la velocidad del viento en cada punto e instante de la trayectoria del objeto: podemos considerarla estacionaria. Sí sabemos que aumenta exponencialmente con la altura h:

vviento = v10  (h/10)α                                                vviento = f (h)                           α,   exponente de Hellmann

α = 0,08 – 0,4 = 0,2              (varía en función del tipo de terreno, siendo   α =  0,2  un valor medio)

v10,     viento medido a la altura h = 10 m

Así, podemos tener:

V10 = 5 m/s              α = 0,08          vviento 20 = 5*(20/10)0,08  = 5,3 m/s    para    h =   20 m de altura

V10 = 5 m/s              α = 0,08          vviento200 = 5*(200/10)0,08  = 6,4 m/s                   h = 200 m de altura

V10 = 10 m/s              α = 0,2          vviento 200 = 10*(200/10)0,2  = 18 m/s                  h = 200 m de altura

V10 = 10 m/s              α = 0,4          vviento 900 = 10*(900/10)0,4  = 60 m/s                  h = 900 m de altura

Helmann

Helmann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cohete

Cohete

La Fuerza de Propulsión,   Fp,   si la tiene   (cohetes, aviones, etc.).

Si         mc       disminuye con el tiempo de forma constante:

ṁ = ṁc  = dmc/dt = – Kc = cte                siendo   ṁ = ṁc  = – Kc     el flujo de combustible o gasto másico  (kg/s)

dmc = – Kc dt               [mc]mco mc = – Kc [t]tot                 mc – mco = – Kc (t – to)           mc = mco + ṁ t

Por tanto, en el instante    t            la masa total será     m = mn + mc          m =  mn + mco + ṁ t        m = mo + ṁ t

mo = m – ṁ t               mo/m = 1 – ṁ t/m

mo = mn + mco                     mo = mn + mn rm                        mo = mn (1+rm)              mn = mo/(1+rm)         

La variación de la cantidad de movimiento, en  un intervalo de tiempo            dt    será

∑Fext dt = m dv + vc dmc     como dm = dmc         siendo      vc    la velocidad del combustible (gas)

∑Fext = m dv/dt + vc dm/dt             m dv/dt = ∑Fext – vc dm/dt = m a                      a = ( ∑ Fext – vc ṁ)/m

En ausencia de Fext (Fext =0)      m dv/dt = – vc dm/dt      a = dv/dt = – vc ṁ/m    Fp = m a =  – vc ṁ   

m dv = – vc dm           dv = – vc dm/m          [v]vov = – vc [Ln m]mom                       v – vo =            – vc Ln [m / mo]

v = vo + vc Ln [mo /m]       v = vo + vc Ln [mn + mco / mn + mc]        v = vo + vc Ln [1 – ṁ t/m]

v = vmax = vo + vc Ln [mn + mco / mn + mc] = vo + vc Ln [1 + mco / mn]                vmax = vo +vc Ln [1 + rm]

La máxima velocidad   vmax    se alcanzará cuando    rm = mco / mn     sea máximo   y   vc    sea máximo.

Es decir, con   mucho combustible y poca nave y como la velocidad del combustible   vc   depende de la Presión y la Temperatura del gas en eyección interesará un combustible con alto poder calorífico como el hidrógeno H2 de    (W/m)H2 = 120 MJ/kg     (W/m)gasolina = 47 MJ/kg    líquido (para que ocupe poco ) y oxígeno líquido O2 (comburente), ya que a una altitud de h = 30 km apenas hay.

H2          +    ½ O2      ⇌ H2O           + (W/m)H2                                      H2 = 2 kg        ½ O2 = 16 kg             H2O = 18 kg

1 kg H2 +    8 kg O2  ⇌ 9 kg H2O  + 120 MJ/kg                           ratio en m (kg)    1 + 8 = 9

Si bien                        wH2 = 120 MJ/kg        es interesante, dado que también hay que llevar el oxígeno, debemos evaluar el poder calorífico referido a          H2 + ½ O2 ⇌ H2    siendo w (H2 + ½ O2) = 120/9 = 13 MJ/kg.

Gasolina   Si Fr = 1    =>    C8H18 + 12,5 O2  ⇌  8 CO2 + 9 H2O

1 kg C8H18 + 3,5 kg O2   3,1 kg CO2  + 1,4 kg H2O + 47 MJ/kg    siendo   w (C8H18 + 12,5 O2) = 47/4,5 = 10 MJ/kg.

Ya que            114/114 kg C8H18 +  400/114 kg O2   352/114 CO2  + 162/114 kg H2O  +  47 MJ/kg

El hidrógeno H2   con                     w (H2 + ½ O2) =  13  MJ/kg                         sigue siendo mejor que

la gasolina C8H18  con            w (C8H18 + 12,5 O2) =  10  MJ/kg

Como es lógico, haciéndolo en etapas (soltando lastre), también se aumenta la velocidad máxima final.

La velocidad de escape de La Tierra es de vesc = 11186 m/s en ausencia de Resistencia aerodinámica:

vehTierra = ( 2 G Mt / (Rt + h ) )½ = 11,186
vehLuna = ( 2 G ML / (RL + h ) )½ = 2,376

Para un ratio    rm = 19 se consiguen los mejores resultados de aceleración, velocidad final y distancia recorrida.

rm = mco / mn = 19              = 90000 kg / 4737 kg                                       10000 kg H2 + 80000 kg O2 = 90000 kg

Ln [1 + rm] = Ln [1 + 19] = 3    =>       vc = vo + vmax /Ln [1 + rm] = vesc /3 = 11186 /3 = 3729 m/s    velocidad de los gases

M = vc / vsonido = 3729 / 1500 = 2,5                            necesitaremos  Nº Mach = 2,5   en 1 etapa            ¿es posible?:

En el estudio del movimiento de un objeto en un gas, el flujo es:

  • Subsónico hasta M ≃ 0,5 considerándolos incompresibles
  • Sónico 0,5 < M < 1 considerándolos comprensibles
  • Transónico M ≃ 1 estudio complicado
  • Supersónico 1 < M < 5,5 en su estudio hay que incluir la termodinámica
  • Hipersónico M > 5,5 como la reentrada de una nave en la atmósfera

Una vez optimizado el número de etapas, hay que diseñar las toberas Laval para conseguir las velocidades del combustible  a la salida de la toberas a partir de unas velocidades inferiores en la cámara de combustión:

Tobera Laval Flujo isentropico

Tobera Laval Flujo isentropico

Si en la cámara conseguimos    M = 2    y la tobera lo consigue acelerar a    M = 3   habrá que calcular el combustible y etapas necesarios (en el ejemplo anterior necesitábamos M = 2,5) para alcanzar la velocidad de escape de 11186 m/s  (sin resistencia aerodinámica), que en la práctica será bastante superior.

 

Simularemos la trayectoria de nuestro cohete:

1º  Teniendo en cuenta sólo la Gravedad g = cte                     

El movimiento es uniformemente acelerado en el eje Y (altitud h) y de velocidad constante en el eje X .

La trayectoria es parabólica para el tiro inclinado.

Se obtienen las ecuaciones analíticas fácilmente.

Tiro Inclinado 1

Tiro Inclinado 1

Tiro Inclinado 1

Tiro Inclinado 1

2º  Teniendo en cuenta la Drag Force       Fd = KD v2    con KD = cte

Se plantea una ecuación diferencial y se resuelve, obteniendo las ecuaciones analíticas.

No es muy complicado, pero en la bibliografía consultada, los supuestos y resultados difieren.

Para calcular la velocidad               dv/dt = v2 KD/m – g  (si cae)                      dv/dt = – v2 KD/m – g  (si sube)

 Ʃ m a =  Ʃ Fext
 a = 0   => (cayendo)          m dv/dt = KD v2 – mg
vl =  (mg/KD)½ dv/dt = v2 KD/m – g
g = vl2 KD/m dv/dt = v2 KD/m – vl2 KD/m
KD/m = g/vl2 dv/dt = (v2 – vl2 ) KD/m
dv/ (v2 – vl2) = g/vl2 dt
1/ 2 vl Ln [(v – vl/ v + vl)]vov  = g/vl2 (t-to)
Ln [(v – vl/ v + vl)]vov = 2 g/vl t
Ln [(v – vl) (vo + vl)/ (v + vl) (vo – vl)] = 2 g/vl t
(v – vl) (vo + vl)/ (v + vl) (vo – vl) = e2 g/vl t

 Resultando                v = vl((vo+vl)+(vo-vl)e(2g∆t /vl))/((vo+vl)-(vo-vl)e(2g∆t /vl))                         (v1c) (cayendo)

Si sube           dv/ (v2 + vl2) = – g/vl2 dt    =>       v = vl tan(arctan(vo/vl)-go t/vl)    (v1s)    (subiendo)

Cuando asciende y llega a la altura máxima, empieza a caer y hay que cambiar de ecuación.

Para que salga bien hay que reescribir  las ecuaciones y referenciarlas al instante anterior          vo = vi-1

(v1c)                 =>      v = vl((vi-1+vl)+(vi-1-vl) e(2g∆t /vl))/((vi-1+vl)-(vi-1-vl)* e(2g∆t /vl))                (v1c*) (cayendo)

Para el espacio         dv/dt = dv/ds  ds/dt = dv/ds  v

v  dv/ds = v2 KD/m – g  (cayendo)                        v  dv/ds = – v2 KD/m – g  (subiendo)

 dv/dt = dv/ds  ds/dt = dv/ds  v v  dv/ds = v2 KD/m – g
  u = (v2 – vl2) v  dv/ds = v2 g/vl2 – g
  du/ dv = 2 v v dv/ (v2 – vl2 ) = g/vl2 ds
  du/ 2 = v dv du/ 2 u = g/vl2 ds
  1/ 2 [Ln u]uou = g/vl2 [s]sos
 

  1/ 2 Ln [u/ uo] = g/vl2 (s – so)
(cayendo)  s = so + vl2/ 2g Ln [v2 – vl2 / vo2 – vl2]      (s1c)

(subiendo)                 s = so – vl2/ 2g Ln [v2 + vl2 / vo2 + vl2]      (s1s)

Cuando sube y llega a la altura máxima, empieza a caer y hay que cambiar de ecuación.

Para que salga bien hay que reescribir  las ecuaciones y referenciarlas al instante anterior          so = si-1

Para la aceleración, partiendo de otra expresión de la ecuación           (v1c)             (cayendo) 

 

v = vl (1 + K1 e -p t ) / (1 – K1 e -p t ) = vl N/ D
N = 1 + K1 e -p t N ‘ = – K1 p e -p t
D = 1 – K1 e -p t D ‘ =  K1 p e -p t =-  N ‘
v = vl N/ D
a = dv/dt =  vl (DN ‘ + N N ‘ )/ D2
 a = vl N ‘ (D + N )/ D2
 (caída)           a = – 2 vl p K1 e -p t /( 1 – K1 e -p t  )2  (a1c)

En el siguiente caso se lanza un objeto con velocidad inicial vo = – 400 m/s hacia abajo, sentido negativo de Z (altitud h).

En la gráfica, 4 expresiones distintas de la fórmula del caso (v1c) para la velocidad  (de la bibliografía consultada) resuelven bien el problema.

Vemos que 4 fórmulas dan una velocidad final de -265 m/s próxima a la límite    vl =263 m/s

Caida Libre con Drag Force 3

Caida Libre con Drag Force 3

Caida Libre con Drag Force 2

Caida Libre con Drag Force 1

Caida Libre con Drag Force 1

En la gráfica anterior, se lanza un objeto con velocidad inicial vo = 400 m/s hacia arriba, sentido positivo de Z (altitud h).

Las ecuaciones analíticas fallan y solo sale bien iterando o combinando ecuaciones, ya que cuando la velocidad cambia de signo (altura máxima), cambian las ecuaciones diferenciales

(subiendo)              (v1s)               (v1c)   (cayendo)

(subiendo)              (s1s)              (s1c)   (cayendo)

3º  Teniendo en cuenta que nada es constante

Como no hay nada constante, difícilmente se puede resolver analíticamente.

Emplearemos el ordenador:

Excel que permite depurar los errores con rapidez y visualizar gráficos, pero no permite hacer animaciones dignas (hay que iterar y pulsar F9 ≣ CALCULAR):      un rollo chungoooooo.

Nótese, en el planteamiento de un problema, la importancia de tener o no algo en cuenta,

o si este algo (parámetro) es cte o variable.

Lo primero que hay que hacer es ponderar las fuerzas relativas en el problema y despreciar aquellas que sean poco significativas.

En este caso, por ejemplo, despreciaríamos las fuerzas Drag, Centrípeta y de Coriolis (no la despreciamos por si acaso ya que el que curra es el ordenador y le cuesta poco calcularla).

Se grafican dos supuestos: con gravedad     constante       g = cte      y     g    variable con la altitud      g = f (h)

Vemos que los resultados difieren una barbaridad.

Cohete 2

Cohete 2

Cohete 3

Cohete 3

 

Para calcular la trayectoria del cohete utilizaremos     los ejes      XYZ         con origen en el centro de La Tierra, con el lugar del lanzamiento (Zamora Spain) contenido en el plano XZ, y    girando   con ésta con ω = cte, por lo que aparecen las fuerzas de inercia debidas a la rotación    ω    de  La Tierra.

Ejes Cohete Tierra Luna

Ejes Cohete Tierra Luna

  • Los tres motores principales del orbitador, fabricados por la División de Rocketdyne de Boeing en Canoga Park, California, pesan alrededor de 3.039 kg cada uno, instalados en la parte trasera del fuselaje en una configuración triangular. Los motores tienen una longitud de 4,3 m de longitud y un diámetro de la tobera del motor de 2,3 m, los cualesutilizan combustible de hidrógeno y oxígeno líquidos, que se almacena en el tanque de combustible externo. Como resultado, cada motor puede generar hasta 2,09 millones de Newtons de empuje.
  • El proceso completo operativo del sistema del transbordador espacial consta de las siguientes etapas:
  1. Los motores principales de la lanzadera se encienden a los seis segundos antes del despegue (T -6 segundos). En el momento designado del despegue (T -0 segundos), los cohetes de combustible sólido se activan y el transbordador despega de la plataforma de lanzamiento.
  2. Después del despegue, en el T +1 minuto, los tres motores principales del transbordador están a pleno rendimiento. En el T +2 minutos y a una altitud de 45 km, los dos cohetes impulsores sólidos se separan del vehículo espacial orbital y el tanque de combustible, regresando de nuevo a la Tierra mediante la gravedad.
  3. Los paracaídas de los cohetes de propulsión se despliegan para garantizar un aterrizaje seguro en el océano a unos 220 kilómetros de la costa de Florida, los cuales son recuperados mediante barcos especialmente diseñados para tal fin.
  4. En el T +7 minutos y 40 segundos, los tres motores principales del orbitador se regulan hacia abajo y en T +8 minutos y 30 segundos, el tanque externo de combustible se separa de la nave. A medida que desciende hacia la tierra, el tanque externo de combustible se desintegra en la reentrada a la atmósfera.
  5. En el T +10 minutos y 30 segundos, los motores de los sistemas de maniobra del orbitador situados a cada lado del estabilizador de cola se activan para situar la nave en una órbita baja, desde la que se vuelven a encender transcurridos 15 segundos para colocar el vehículo en una órbita más elevada, en una altitud de unos 400 kilómetros.
  6. La tripulación abre las puertas de la bodega de carga con el fin de enfriar la nave. Una vez alcanzado los niveles estables de temperatura, el orbitador puede iniciar operaciones en la bodega de carga, permitir ejecutar caminatas espaciales o posicionarse en cualquier punto deseado de la órbita terrestre.

             masa de nave,    mn = 300,000  kg                 masa de combustible inicial,    mco = 1,000,000 kg

Nave Viriatus I      at    Zamora    41º Latitud Norte (Spain)

Nave Viriatus I at Zamora 41º Latitud Norte (Spain)

Un análisis con datos más reales de las masas de nave y combustible, nos da como resultado:

Las sinusoides de      rx         r      en colores     rosa     y      cyan       nos indican que la nave está orbitando a La Tierra,   mientras que la componente en color      verde        rz ≃ recta      que crece linealmente.

Es decir, la trayectoria es ≃ helicoidal en torno al eje Z. Helicoide

Trayectoria Helicoide

Trayectoria Helicoide

Transbordador a la Luna

Transbordador a la Luna 1

Dirigiendo el transbordador hacia el plano XY, obtenemos lo siguiente:

más cerca de la Luna, ya que  rz  disminuye, pero también lo hace  rxy = 35 E6 m.

Para mejorar, hay que llevar el transbordador hacia el plano XY, orbitar  a cierta altura      Hor       y luego ir a la Luna.

Transbordador a la Luna 3

Transbordador a la Luna 2

Transbordador a la Luna 4

Transbordador a la Luna 5

Tobera Transbordador D

Utilizaremos  Qbasic            en la versión de Windows 64,       QB64    Versión   0.954

QB64  permite hacer simulaciones, animaciones.

Una imagen vale más que mil palabras y una animación vale más que mil imágenes.

De hecho están compuestas por imágenes, y con un ratio de 25  frames/s, una animación de 40 s contiene 1000 imágenes y por consiguiente un alto consumo de memoria, etc…..

En este sentido las imágenes          *.GIF   son la quinta esencia de la animación.

Para hacer Cálculo Diferencial con el Ordenador, como en este caso, pondremos todas las variables

g          Fcen              Fcor                Fd                   vviento           etc.

en función del vector de posición             r (x,y,z)     donde z es la altura h          ( z ≣ h)

y          r (x,y,z) = f (t)             en función del tiempo t

con lo cual, calcularemos todas las variables      (g, Fcen, Fcor, Fd, …)           en función del tiempo t

Haciendo       ti = ti-1 + ∆t        ya que                   ∆t = ti – ti-1

∆t ≣ it       en QB64       los incrementos de tiempo  it   serán   1 s           ó   1 hora   (lo que queramos)

ti ≣ t(i)                  ti-1 ≣ t(i-1)         en QB64         implica trabajar con matrices y DIMensionarlas

por tanto, es aconsejable hacer     t = t + it      en cada pasada por el bucle y no DIMensionar.

En general, emplearemos la notación diferencial de Leibnitz

Newton          ẋ = v                                             Leibnitz          vx = dx/dt

r(x, y, z) = x i + y j + z k                                                                                  para el vector de posición

ṙ(ẋ, ẏ, ż) = d r(x, y, z)/dt = v (vx, vy, vz) = vx i + vy j + vz k                  para el vector velocidad

ẋ = vx = dx/dt                   = vy = dy/dt                   ż = vz = dz/dt

= ax = dvx /dt = d2x/dt2                    etc.

En Basic,        QB64              no hay símbolos ( o no es fácil usarlos o están reservados para el sistema)

Así que utilizaremos la nomenclatura típica de programación para las poco frecuentes:

 

Procedure                      Datos  Invariantes     Datos Input    Fórmulas

 R =                        287                       J/kg ºK                 Constante de los gases para el Aire

G =                        6,673E-11          Nm2/kg2           Constante de Gravitación Universal

Ms =                     1,9999E+30      kg                          Masa del Sol

Dst =                    149,6E+09         m                           Distancia entre el Sol y La Tierra

Ml =                      7.349E+22         kg                          Masa de La Luna

Dtl =                     384000000       m                           Distancia entre la Tierra y la Luna

Mt =                     5.9736E+24      kg                          Masa de La Tierra

Rp =                      6356000             m                           Radio de la Tierra en el polo

Re =                       6378000             m                           Radio de la Tierra en el ecuador

ωtt =                    72.9 E-06           rad/s                    Velocidad de rotación de la Tierra sobre sí misma

To =                                      300                       ºK                          Temperatura Inicial (ambiente)

Kt =                                      0,005                    ºK/m                    Incremento de la Temperatura con la altitud

Po =                                      101,325              Pa                          Presión  atmosférica Inicial

α =                              0,1                                                       Exponente del viento de Hellmann

Lat =                                     41                          º                             Latitud (Norte positiva y Sur negativa, Zamora)

h =                                         637                        m                           Altitud inicial (de lanzamiento, Zamora)

mn  =                                    10000                  kg                          Masa de la nave

mco =                                    90000                  kg                          Masa inicial del combustible

Kc =                                      90                          kg/s                      Consumo de combustible

vo =                                       0                             m/s                       Velocidad inicial (normalmente  vo = 0)

v10 =                                    5                             m/s                       Velocidad del viento ( medida a h = 10 metros)

CD =                                     0,10                                                      Coeficiente Drag (elipsoide tipo misil)

Rt = [(Re cos lat)2 + (Rp sen lat)2]½                 m

r = Rt + h                                                                            m

g =  G Mt/r2                                                                     m/s2

xo =                                                                                      m

yo =                                                                                     m

zo =                                                                                     m

m =  mn + mco – Kc  t                                                      kg

Fcen = m ωtt x (ωtt x r cos (lat))                           N

Fcor = 2 m ωtt x v                                                         N

T = To – Kt h                                                                    ºK

P=Po (1-Kt h/To) g/RK                                                                Pa

ρa = P / (R T )                                                                  kg/m3

vv = v10  (h/10)α                                                            m/s

vr = v – vv                                                                         m/s

Fd = 1/2 Cd ρa As vr                                                   N

Fp = – vc ṁ                                                                       N

Ʃ Fext = Fp + Fg + Fd + Fcen + Fcor  = m a         =>          a = (Fp + Fg + Fd + Fcen + Fcor  + Fg)/m          (vectorial)

a = ap + g + ad +acen + acor                      a = – vc ṁ/m +  g + 1/2 Cd ρa As vr2  + ωtt x (ωtt x r cos (lat) ) + 2 ωtt x v

Tags:  motion, orbit,  airplane, missile, gravity, drag force, spatial, mechanic

 

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