How Design Formula One

Dinámica F1, Dynamics


En el análisis despreciamos peraltes, pendientes, baches, pianos, dinámica de rotación de las ruedas, etc. y suponemos chasis rígido (indeformable), sin suspensiones…

Entre otras razones porque las fórmulas se complican bastante y perderemos la perspectiva ( un modelo debe introducir la mínima cantidad de complejidad a la vez que captura lo más esencial de la física relevante del fenómeno ).

Dado que nuestro sistema de coordenadas XYZ va ligado al asfalto, si tuviéramos en cuenta peraltes y pendientes, etc, todas las fuerzas tendrían tres componentes XYZ en lugar de 1 sola componente:

 

Por ejemplo, el peso mg (eje Z)  tendría 3 componentes:

Z : mgz = mg * cos (per) * cos (pen)

Y : mgy = mg * cos (per)

X : mgx = mg * cos (pen)

Estas fuerzas actúan en el Centro de Masas.

Por efecto del cambio de pendiente se generarían fuerzas centrífugas en el eje Z que empujarían el coche contra el suelo o intentarían hacerlo despegar:

Z : Fcenz = m v^2 / Rrasante

Las Fuerzas centrífugas también actúan en el Centro de Masas.

La formulación no es compleja, pero el análisis para mejorar el monoplaza sí lo es.

Tampoco tenemos en cuenta la acción de los amortiguadores: nuestro coche es rígido y no habrá balanceos, ni cabeceos ni pivotamientos.

Aunque son muy importantes su estudio en conjunto con la dinámica del monoplaza implica un sistema de ecuaciones muy complejo para resolverlo de forma explícita.

 

Por tanto, en principio, hay que estudiar solo las fuerzas principales:

jasf1961 F1 Dinámica Básica Vehículos Monoplaza

jasf1961 F1 Dinámica Básica Vehículos Monoplaza

Fuerzas en Recta

Fuerzas en Recta

Dinámica

 

La adherencia depende de la Fuerza de Rozamiento, que responde a la fórmula

Froz = μ N           siendo Froz, Fuerza de Rozamiento       μ, Coeficiente de Rozamiento     N, Fuerza Normal

En el caso de un Fórmula 1 tenemos cuatro ruedas que, en general y en un instante dado, tendrán distintos valores de μ y de N

FrozT = ∑ Frozi  = ∑ μi Ni                    siendo  FrozT, Fuerza de Rozamiento Total        Frozi, Fuerza de Rozamiento de cada rueda

El Coeficiente de Rozamiento  μi, para un sting, es función de los materiales en contacto Mat (goma-asfalto), de la Presión P, de la Temperatura T, de la Fuerza Normal N, del Desgaste D (que a su vez es función del tiempo t),…Para complicarlo un poco más, El Coeficiente de Rozamiento Instantáneo μi  también depende de los ángulos de deriva o deslizamiento, de caída, de convergencia…

μi = f ( Mat, P, T, N, D f(t ) Ade, Aca, Aco,… )                   ( El Coeficiente de Rozamiento μi lo calculamos en la sección Neumáticos Tyres)

 

La Fuerza Normal  Ni  es función, como veremos, de variables; masa m, Fuerza Lift FL, Fuerza Drag FD, Fuerzas de Inercia Fi, Fuerza Centrífuga Fcent y también es función de parámetros geométricos de diseño: batalla o Weelbase Wb (distancia entre ejes),  Track Tr (distancia entre centros de ruedas del mismo eje), coordenadas del Centro de Masas Cm, coordenadas del Centro de Presiones Cp (de FL y FD),

Ni = f ( m, FL, FD, Fi, Fcent, Wb, Tr, Cm, Cp )

 

La Fuerza Normal de cada rueda  Ni = f ( m, FL, FD, Fi, Fcent, Wb, Tr, Cm, Cp ),  la calculamos por medio de las ecuaciones de la Dinámica:

∑ Fext = m*a     dónde haremos               Fi = m* a            y la incluiremos dentro del sumatorio quedando             ∑Fext  – Fi= 0

∑ Mext = 0

jasf1961 word press Dynamics 1 Centro de masas y de presiones

Siendo:

hm,    altura del Centro de Masas respecto al suelo

hp,     altura del Centro de Presiones respecto al suelo

Tr,      Track  (distancia entre centros de ruedas del mismo eje medidos al centro de las ruedas)

Wb,    Wheelbase  (distancia entre ejes)

Wb = Wmr + Wmf          siendo          Wmr y Wmf las distancias horizontales del Centro de Masas a los ejes de las ruedas trasero (Rear, r) y delantero (Front, f)

Wb = Wpr + Wpf             siendo          Wpr y Wpf las distancias horizontales del Centro de Presiones a los ejes de las ruedas trasero (Rear, r) y delantero (Front, f)

 

Consideramos que el monoplaza está tomando una curva a derechas y está frenando.

F1 Frenando

 

En el caso que esté acelerando Fi cambia de signo.

F1 Acelerando

F1 Acelerando

 

Tomando momentos respecto de las ruedas obtenemos las  Fuerzas Normales Ni ( Nrl, Nfl, Nrr, Nfr ) en cada rueda:

 

Rueda Trasera (r, Rear)           Izquierda (l, Left):

Nrl = (1/2*Wb) (mg*Wmf + FL*Wpf + FD*hp – Fi*hm) + Fcent (Wmf/Wb) (hm/Tr)            Frozrl = μrl * Nrl

 

Rueda Delantera (f, Front)     Izquierda (l, Left):

Nfl = (1/2*Wb) (mg*Wmr + FL*Wpr – FD*hp + Fi*hm) + Fcent (Wmr/Wb) (hm/Tr)            Frozfl = μfl * Nfl

 

Rueda Trasera (r, Rear)           Derecha (r, Right):

Nrr = (1/2*Wb) (mg*Wmf + FL*Wpf + FD*hp – Fi*hm) – Fcent (Wmf/Wb) (hm/Tr)             Frozrr = μrr * Nrr

 

Rueda Delantera (f, Front)     Derecha (r, Right):

Nfr = (1/2*Wb) (mg*Wmr + FL*Wpr – FD*hp + Fi*hm) – Fcent (Wmr/Wb) (hm/Tr)             Frozfr = μfr * Nfr

 

Frenando interesa que              FL­        FD­  ↑   mg ↓              Wmr / Wmf ­                   Wpr / Wpf  ↓                     hp­  ­    hm  ↓

Acelerando interesa que           FL­  ↑ ­     FD ↓    mg ↓              Wmr / Wmf  ↓                  Wpr / Wpf­ ­                       hp­  ­    hm­   

En Curva interesa que               FL­      ­   FD ↓    mg ↓              Wmr= Wmf=                    Wpr= Wpf=                        hp ↓     hm ↓      Tr­  ↑

En General interesa que        FL­  ↑­      FD ↓    mg ↓              Wmr / Wmf ­  ↑­                 Wpr / Wpf­  ↑­                     hp ↓    hm ↓     Tr­  ↑­  

 

Damos prioridad a la frenada sobre la aceleración ya que en frenada se alcanzan valores de 5G (Fuerza G) = 5 * 9,8 m/s^2 = 50 m/s^2, mientras que en aceleración se llega a 1,5 G (Fuerza G) = 1,5 * 9,8 m/s^2 = 15 m/s^2 en la salida (limitado por el rozamiento) y para velocidades más altas es inferior a 1G < 10 m/s^2.

Y damos prioridad a la curva sobre la frenada y la aceleración ya que desestabiliza el monoplaza en sentido derecha – izquierda.

En general lo que es bueno para una situación, es malo para otra, excepto Tr, pero está limitado por la FIA.

Por tanto, lo mejor es lograr un buen equilibrio del coche, es decir que en todos los supuestos las Fuerzas Normales de cada rueda (y por tanto sus respectivas Fuerzas de Rozamiento) tengan valores similares.

Como la FIA no limita la distancia entre ejes, Wheelbase, aumentándola tendremos más sitio para recolocar componentes y adelantar/retrasar el Centro de Masa Cm e intentar bajarlo. Además podemos intentar estrechar el área frontal disminuyéndola y con ello reducir el valor de la Fuerza de Arrastre Drag Force FD, responsable de la velocidad máxima del monoplaza: FD aumenta con el cuadrado de la velocidad FD = f(v^2) y cuando se iguala a la fuerza del motor el coche no puede acelerar más y se alcanza la velocidad máxima.

 

A partir de la simulación CFD a v = 90 m/s calculamos FL y FD a la v  que queramos (V = 80 m/s en este caso).

Introducimos el Radio de Curva y calculamos la Centrifugal Force.

Según el acelerador sacamos la potencia.

Según fuerza de frenado y diferencial las fuerzas a cada rueda. la aceleración del coche, etc.

Con todas las fuerzas conocidas, aplicamos las ecuaciones    Σ Fext = m a = Fi        (N)        Σ Mext = I a = Mi        (Nm)

teniendo en cuenta las transferencias de masas inerciales y calculamos las fuerzas normales en cada rueda Nz

y luego las fuerzas de rozamiento Froz i = μ i N i de cada rueda (los μ i los hemos calculado en la sección neumáticos).

Comparamos el Σ Fext i en cada rueda, tanto en dirección x como en y, con la Froz i de esa rueda para saber si esa rueda patina o no.

Si una rueda (p. e. la Dcha Trasera) patina en x (sentido de la marcha), vemos la posibilidad de que la otra rueda del mismo lado  (Dcha Delantera),

sea capaz de absorber el sobrante de  Σ Fext i o no.

Si una rueda (p. e. la Dcha Trasera) patina en y (sentido lateral), vemos la posibilidad de que la otra rueda del mismo eje  (Izqda Trasera), sea capaz de absorber el sobrante de  Σ Fext i o no.

Cuando hemos realizado todos los ajustes vemos si solo patina una rueda o varias o ninguna.

Cuando un F1 frena con algo de curva (curva de gran radio casi recta) es muy fácil bloquear una rueda ya que apenas tiene apoyo en esa rueda:

la normal Ni de esa rueda es muy pequeña y por tanto la Froz.

 

En este vídeo podéis ver lo que pasa al modificar los datos de la hoja de cálculo:    

 http://www.youtube.com/watch?v=4bywafYJbgY

 

Para simplificar el análisis no tenemos en cuenta pendientes ni peraltes (si los tuviéramos en cuenta el peso mg (eje z) también tendría componentes en los ejes x, y.

No lo hacemos para no perdernos (las fórmulas tendrían un par de sumandos más, eso no es problema, pero los árboles te impiden ver el bosque), ya que hay demasiados parámetros en juego y es complicado sacar conclusiones.

Tampoco tenemos en cuenta el efecto de las suspensiones y la flexión del chasis. Ambos son muy rígidos y no afectarán demasiado al análisis “a groso modo”.

Si los tuviéramos en cuenta (se analizan en la sección Suspensiones), la fuerza normal de cada rueda sería un poco diferente en función del efecto de la suspensión:

* cuando la suspensión se comprime absorbe parte de dicha fuerza Normal (F = -kx) disminuyendo su valor (P.e.  N pasa de 5000 N a 4500 N)

* cuando la suspensión se expande incrementa la  fuerza Normal (F = -kx) aumentando su valor (P.e.  N pasa de 5000 N a 5500 N)

Como las frecuencias de suspensión de los F1 rondan los 10 Hz (rebotan 10 veces en 1 segundo) es muy complicado saber en un instante dado que está haciendo el amortiguador (comprimiéndose o expandiéndose). Además hay baches y pianos…

Esta simplificación (coche rígido) nos permite transformar la ecuación vectorial de momentos     Σ Mext  = I α      en     Σ Mext  = O     ya que al no existir balanceos, cabeceos ni pivotamiento o guiñada sus respectivas aceleraciones angulares α serán nulas y se simplifica mogollón los cálculos.

Lo dicho simplificamos pendientes, peraltes, suspensiones y rigideces para ver si sacamos algo en claro, cosa que dudo.

Los fabricantes de coches y las escuderías no hacen estas simplificaciones y, aún así, los pilotos tienen que afinar el setup que teóricamente han calculado los ingenieros.

Al inicio esquema del planteamiento de las ecuaciones.

La masa del coche es función de la gasolina del depósito.

Las fuerzas aerodinámicas FL, FD las hemos calculado con simulación CFD (o túnel de viento si tuviéramos).

El radio de la curva se saca del circuito o por telemetría del giro del volante ( en recta el radio es infinito).

Según el piloto pise el acelerador => consumo de combustible (velocidad + marcha engranada => rpm del motor => potencia del motor + Relación de transmisión => Fuerza del motor en las ruedas traseras).

Según el piloto pise el freno (+reparto de frenada + diferencial autoblocante => fuerza de frenado en ruedas delanteras y traseras).

El coeficiente de rozamiento para el sting, μsting lo calculamos en Neumáticos Tyres y el instantáneo depende de la Fuerza Normal N, que calculamos aquí en un instante dado, también depende de la Temperatura instantánea del neumático, cosa que no calculamos (se haría con Termodinámica, complicado) y del ángulo de deriva, cosa que tampoco calculamos por su complejidad (se haría teniendo en cuenta la geometría de Ackerman).

Vamos a comparar dos prototipos Mod1 y Mod 2 poniendo todos los parámetros iguales (se pueden modificar todos los que queramos pero no sacamos ninguna conclusión). Aquí en este ejemplo se ha cambiado:

Wmr (m)= 1,300 distancia horizontal del Centro de Masas al eje de las ruedas trasero 1,600

 Como siempre, en rojo los datos que podemos cambiar, el resto son fórmulas que se recalculan automáticamente:

jasf1961 word press Dynamics 1 Centro de masas y de presiones

jasf1961 word press Dynamics 1 Centro de masas y de presiones

jasf1961 word press Dynamics 2

jasf1961 word press Dynamics 2

jasf1961 word press Dynamics 3

jasf1961 word press Dynamics 3

jasf1961 word press Dynamics 4

jasf1961 word press Dynamics 4

Visualización del Mod 1:

jasf1961 word press Dynamics 5

jasf1961 word press Dynamics 5

Ejemplos de varias situaciones de carrera:

 

F1 Acelerando Recta Salida

jasf1961-Wordpress Dinámica F1 Acelerando Recta Salida

jasf1961-Wordpress Dinámica F1 Acelerando Recta Salida

jasf1961 F1 Dinámica Recta vs Salida Acelerando

jasf1961 F1 Dinámica Recta vs Salida Acelerando

 

F1 Acelerando Recta v 70 ms-1

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Acelerando Recta v 70 ms-1

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Acelerando Recta v 70 ms-1

jasf1961 F1 Dinámica Recta Acelerando vs Velocidad

jasf1961 F1 Dinámica Recta Acelerando vs Velocidad

 

F1 Frenando Final Recta

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Frenando Final Recta

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Frenando Final Recta

jasf1961 F1 Dinámica Recta vs Frenando

jasf1961 F1 Dinámica Recta vs Frenando

 

F1 Frenando Curva

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Frenando Curva

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Frenando Curva

jasf1961 F1 Dinámica Curva vs Frenando

jasf1961 F1 Dinámica Curva vs Frenando

 

F1 Curva Velocidad Constante v 75 ms-1

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Curva Velocidad Constante v 75 ms-1

jasf1961-Wordpress Dynamics F1 Curva Velocidad Constante v 75 ms-1

jasf1961 F1 Dinámica Curva vs Velocidad

jasf1961 F1 Dinámica Curva vs Velocidad

 

F1 Acelerando Salida de Curva

jasf1961-Wordpress Dinámica F1 Acelerando Salida de Curva

jasf1961-Wordpress Dinámica F1 Acelerando Salida de Curva

jasf1961 F1 Dinámica Curva vs Acelerando

jasf1961 F1 Dinámica Curva vs Acelerando

Vamos a comparar 5 monoplazas distintos que tengan todos los parámetros implicados iguales excepto

Wb = Wmr + Wmf      y             Wb = Wpr + Wpf

El análisis de Dinámica de Fluidos Computacional CFD se ha realizado a v = 90 m/s obteniéndose unos valores de

FL = 12500 N               y  FD = 8500 N.

Para otras velocidades se calcula con el análisis dimensional que predice que KL y KD permanecen constantes.

Para velocidad constante   =>   a = 0 m/s^2 y vemos que se obtienen los mismos resultados “FRENANDO en curva” y “ACELERANDO en curva

Aquí se comparan 5 Modelos en total (5 frenando + 5 acelerando):

En este ejemplo solo se ha modificado Wmf, distancia horizontal del Centro de Masas al eje de las ruedas delantero  

Dinámica Wheelbase 1
Dinámica Wheelbase 1

Frenando a 3G = 30 m/s^2 y acelerando a 5 m/s^2 a una v = 80 m/s en una curva de radio Rc = 250 m. Calculamos el Rc mínimo y la aceleración máxima:

Dinámica Wheelbase 2
Dinámica Wheelbase 2

A  v = 60 m/s y aceleraciones de 6 y – 6 vemos como ciertos modelos derraparían ya que necesitan un radio mayor:

Dinámica Wheelbase 3
Dinámica Wheelbase 3

En fin, vemos en este caso diferencias apreciables en la rueda Delantera Izquierda de un monoplaza a otro:

Rueda Delantera (f) Izquierda (l, Left): Rueda Delantera (f) Izquierda (l, Left):

Nfl

5.177

4.488

4.046

3.794

3.188

Nfl

4.798

4.109

3.635

3.344

2.692

μfl

178%

187%

193%

197%

205%

μfl

183%

192%

199%

203%

212%

Frozfl

9.190

8.400

7.823

7.469

6.548

Frozfl

8.772

7.909

7.237

6.794

5.715

Y el que más adherencia tiene es el 1º de WB =3,80 m (el más largo) y Wmr = 1,80 m (centro de gravedad más atrasado).

En esta curva puede ir más rápido, pero también castigará más este neumático que los otros monoplazas: lo que más interesa es ir rápido pero desgastando todos los neumáticos por igual dentro de lo posible, ya que excepto Suzuka que es un ocho, el resto de circuitos tienen casi todos sentido horario y por tanto se degradarán más los izquierdos que los derechos. Aun así, interesa que el delantero izquierdo y el trasero izquierdo se gasten por igual, para alargar la parada en boxes lo máximo posible (no sirve de nada tener tres en buen estado si el más solicitado lo tienes hecho polvo).

Estos cálculos en Excel están bien, pero la cantidad de supuestos (combinaciones de velocidades, aceleraciones, radios de curva y resto de parámetros) hacen tedioso sacar conclusiones. Para una curva a velocidad constante sirve, pero normalmente se entra frenando y se sale acelerando con trayectorias que podemos aproximar a una parábola. Al ir frenando/acelerando la velocidad instantánea cambia y hay que recalcular todos los parámetros, por ejemplo cada 0,1 segundos.

Partiendo del vértice de la curva 1  (v = cte) vamos acelerando hacia la salida, la trayectoria parabólica hace que el radio sea variable. Si en la simulación matemática nos salimos del circuito habrá que repetir el proceso con una aceleración menor para no salirnos ( la fuerza de rozamiento es un vector de dos componentes, de tal forma que si aumentamos una componente tenemos que disminuir la otra ya que la suma vectorial tiene el valor límite que estamos calculando. Dicho de otra forma: si gastamos la fuerza de rozamiento en la aceleración Fi = m * a (componente X en la dirección de la marcha) estamos disminuyendo la otra componente Y en sentido transversal a la marcha que es la que se opone a la fuerza centrífuga Fcent = m * v^2 / Rc. Para disminuir Fcent tenemos dos opciones: frenar (disminuir v) o aumentar Rc (nos salimos del circuito). Matemáticamente decimos que se tiene que cumplir

(Fi^2+Fcent^2)^0,5  <  Froz             . Al ir acelerando         v1 va aumentando.

Para calcular la frenada es todavía peor, tenemos los mismos problemas anteriores y otro añadido: no sabemos cuándo tenemos que empezar a frenar. Lo solucionamos yendo “marcha atrás” como si estuviéramos rebobinando una cinta de video: partimos también del vértice de la curva 2  a  v = cte  vamos acelerando (con el valor de la aceleración de frenada que es muy superior en valor absoluto a la aceleración “marcha adelante” – la que proporciona el motor-). Es decir hacemos lo mismo que en el caso anterior, pero hacia atrás. También aquí v2 va aumentando.

Tenemos  Curva 1           Recta 1                 Curva 2

Si la Recta 1 es suficientemente larga como para alcanzar la velocidad máxima( recta de meta), ir un rato a esta vmax ( limitada por FD) y luego frenar, el problema está resuelto.

En caso contrario (recta pequeña, caso habitual) el punto donde hay que dejar de acelerar y empezar a frenar es aquel que donde las velocidades v1 y v2 se igualan. Es decir, al analizar la curva 2 rebobinando también vamos aumentando la velocidad. Tendremos que calcular el espacio Sp1 y Sp2, sumarlos y si coincide con la distancia entre ambos vértices de curvas 1 y 2, tenemos la solución. O sea, que tenemos que hacer los cálculos de ambas velocidades instantáneas v1 y v2 en paralelo, calculando los espacios Sp1 y Sp2 en paralelo y su suma. Si v1 < v2 iteramos para v1 hasta que v1 > v2, ahora v2 < v1, pues iteramos para v2 hasta que v2 > v1. Así hasta que el espacio entre vértices de curvas sea = Sp1 + Sp2.              Sencillo ¿ no ?.

En la sección Motor Engine Design, hemos calculado la aceleración que proporciona el motor en función de la velocidad y la marcha engranada, que a su vez depende de la relación de cambio de marcha elegida. Además a baja velocidad dicha aceleración es superior al límite de la fuerza de rozamiento (las ruedas patinarían) con lo cual, debemos comprobar que Fi < Froz (si Fi > Froz limitamos Fi = Froz) . Acelerando Fi es la fuerza del motor Fmot en el siguiente cuadro, en el que se ha supuesto μroz = cte = 1,5 = 150% para no complicar los cálculos:

Dinámica Wheelbase 4
Dinámica Wheelbase 4

Pero teniendo en cuenta la Dinámica, si calculamos el coeficiente de rozamiento μroz, en cada instante con las fórmulas previas, obtendremos los valores de μroz en función de los repartos de pesos.              Mdd1 Cm centrado        Mod5 Cm atrasado.            En parado:

Fuerzas Normales y de Rozamiento en Parado

Fuerzas Normales y de Rozamiento en Parado

Acelerando, para el primer y quinto modelo, tendremos:

En la arrancada (v = 0 – 30 m/s = 108 km/hora) el Mod5 es claramente mejor al tener más carga en el eje trasero  =>  más rozamiento (que limita la fuerza del motor útil en la tracción)  =>  más aceleración.  A partir de  v =40 – 45 m/s  la Fuerza del Motor es menor que Froz y no hay diferencias.

y frenando, para el primer y quinto modelo, tendremos:

Observamos que frenando, el Mod1 aventaja al Mod5 a alta velocidad y se van igualando a medida que ésta disminuye.

En la arrancada (v = 0 – 30 m/s = 108 km/hora) el Mod5 es claramente mejor al tener más carga en el eje trasero  =>  más rozamiento (que limita la fuerza del motor útil en la tracción)  =>  más aceleración.  A partir de  v =40 – 45 m/s  la Fuerza del Motor es menor que Froz y no hay diferencias.

Simulando una carrera Mod5 en la arrancada hasta  v = 60 m/s  ganaría (6,08 – 5,25) = 0,83 segundos  y (208,6 – 191,6) = 17 metros. A partir de aquí, si la velocidad no baja de 45 m/s los dos tienen igual aceleración, pero el Mod1 ganaría en cada frenada una media de + – 0,020 segundos y + – 0,40 metros, por lo que en unas 40 curvas le alcanzaría ( unas 4 vueltas ), siendo  + – 0,2 segundos más rápido por vuelta, pero ¿podrá adelantarlo?

Decíamos que:

Frenando interesa que              FL­        FD­  ↑   mg ↓              Wmr / Wmf ­                   Wpr / Wpf  ↓                     hp­  ­    hm  ↓

Acelerando interesa que           FL­  ↑ ­     FD ↓    mg ↓              Wmr / Wmf  ↓                  Wpr / Wpf­ ­                       hp­  ­    hm­  

Como las diferencias de Wpr / Wpf ( 31% – 26% = 5%) son menores que las diferencias de Wmr / Wmf (90%-32% = 58%) éste parámetro adimensional es más importante en esta simulación y por eso Mod5 es mejor en la arrancada y peor en las frenadas que Mod1.

Frenando interesa que                 Wmr / Wmf ­  ­                   Mod1 con 90%                 gana a   Mod5 con 32%

Acelerando interesa que             Wmr / Wmf  ↓                     Mod5 con 32 %                gana a   Mod1 con 92%

Una respuesta

  1. Fede

    Hola! Podrías pasame el excel por email? Felicitaciones por el gran trabajo. Saludos.

    17 noviembre, 2015 en 8:46

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